В прикладных задачах углы измеряют в градусах, а в теоретических науках в радианах. Один радиан — это примерно \(57^\circ\), а в одном полном обороте ровно \(2\pi\) радиан. По определению, радианная мера угла — это отношение длины дуги окружности с центром в вершине угла, заключенной в этом угле, к ее радиусу. Поэтому, если тело движется по окружности радиуса \(r\) с угловой скоростью \(\omega\) (то есть за время \(dt\) проходит угол \(\omega dt\)), то его скорость \(v=\omega r\).

Если речь идет о каком-то твердом теле, которое может вращаться как угодно, то угловой скорости следует приписать направление. Она параллельна оси вращения и направлена в ту сторону, в которую закручивался бы штопор, если бы тело было им. Тогда скорость какой-то точки на этом теле с радиус вектором \(\vec r\) будет выражаться через векторное произведение (пусть мы находимся в системе центра масс тела) \(\vec v=[\vec\omega\times\vec r]\). По направлению она перпендикулярна угловой скорости, то есть оси вращения, и радиус-вектору, который соединяет эту точку с началом координат, через которое проходит ось вращения. Таким образом скорость лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения. По абсолютной величине скорость \(v=\omega\rho\), где \(\rho\) — это расстояние до оси вращения.

Давайте ответим на вопрос: чем отличается движение тел с точки зрения двух вращающихся друг относительно друга наблюдателей. Например, первый наблюдатель, это вы, и вы находитесь на Земле, которая вращается вокруг своей оси. А второй наблюдатель — это я, но я нахожусь на Марсе (Марс, конечно, тоже движется относительно Земли, но гораздо медленнее, чем вращается сама Земля, поэтому мы этим пренебрежем). Начала отсчета обеих систем пусть будут в центре Земли. Все векторы в вашей системе отсчета будем обозначать как обычно, а в моей будем добавлять штрих \(‘\).

Один и тот же вектор видится вам и мне по-разному, то есть имеет разные координаты, так как координатные оси у нас разные. Например, вектор \(\vec r\) нарисованный у вас в тетради для вас покоится и всегда направлен в одну и ту же сторону (пока тетрадь лежит на месте), а для меня этот вектор \((\vec r)’\) не просто направлен в другую сторону, он еще и медленно вращается вместе со всей Землей. То есть \(\vec r\neq(\vec r)’\). Тем не менее это один и тот же вектор, соединяющий две точки пространства. Но иначе дело обстоит со скоростью.

Скорость изменения вектора в вашей тетради для вас ноль, а для меня не ноль. Ноль-вектор является ноль-вектором, как на него ни смотри, поэтому мы не просто по-разному видим скорость изменения, мы видим разные скорости. Рассмотрим радиус-вектор какого-нибудь тела, то есть вектор, соединяющий с ним центр Земли. Так как все, что покоится для вас, что значит \(\frac{d}{dt}\vec r=0\) , для меня движется со скоростью \(\frac{d}{dt}(\vec r)’=[\vec\omega\times(\vec r)’]\). Угловую скорость штриховать не надо, так как ось вращения одна и та же с обеих точек зрения. Тогда и для движущихся точек вероно, что

\[ \frac{d}{dt}(\vec r)’= \Big(\frac{d}{dt}\vec r\Big)’ + [\vec\omega\times(\vec r)’] \]

Это главное уравнение, оно верно для любого вектора. Оно и означает, что вектор скорости, который вижу я (левая часть) отличается от вектора скорости, которую видите вы, пусть и перенесенного в мою систему отсчета (первое слагаемое в правой части), на добавку, о которой мы уже писали (второй слагаемое в правой части).

Продифференцируем это выражение еще раз и получим:

\[ \frac{d^2}{dt^2}(\vec r)’= \frac{d}{dt}\Big(\frac{d}{dt}\vec r\Big)’ + \Big[\vec\omega\times\frac{d}{dt}(\vec r)’\Big] \]

С первым слагаемым в правой части поступим так же, как поступили с радиус-вектором, то есть подставим в главное уравнение \(\frac{d}{dt}\vec r\) вместо \(\vec r\) и получим:

\[ \frac{d}{dt}\Big(\frac{d}{dt}\vec r\Big)’= \Big(\frac{d^2}{dt^2}\vec r\Big)’ + \Big[\vec\omega\times\Big(\frac{d}{dt}\vec r\Big)’\Big] \]

Во втором слагаемом стоит \(\frac{d}{dt}(\vec r)’\), которое мы уже нашли. А что стоит в левой части? Ускорение. Так как моя система отсчета более-менее инерциальна, в отличии от вашей вращающейся, можно воспользоваться вторым законом Ньютона, связывающим ускорение и силу, действующую на тело: \((\vec F)’ = m\frac{d^2}{dt^2}(\vec r)’\). В итоге получим:

\[ (\vec F)’ = m\Big(\frac{d^2}{dt^2}\vec r\Big)’ + 2m\Big[\vec\omega\times\Big(\frac{d}{dt}\vec r\Big)’\Big] + m\Big[\vec\omega\times\big[\vec\omega\times(\vec r)’\big]\Big] \]

Последний штрих — снимем штрихи. Действительно, это равенство векторов, и оно верно с любой точки зрения. Кстати, именно замена ускорения на силу позволяет нам снять штрих.

\[ \vec F = m\frac{d^2}{dt^2}\vec r + 2m\Big[\vec\omega\times\frac{d}{dt}\vec r\Big] + m\Big[\vec\omega\times\big[\vec\omega\times\vec r\big]\Big] \]

И самый последний штрих — введем стандартные обозначения для скорости и ускорения:

\[ \vec F = m\vec a + 2m\big[\vec\omega\times\vec v\big] + m\Big[\vec\omega\times\big[\vec\omega\times\vec r\big]\Big] \]

Это уравнение показывает, что в неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона не выполняется. Однако можно заставить его формально выполняться, если ввести дополнительные инерциальные силы, действующие на все тела. Это сила Кориолиса

\[\vec F_\text{Кор}=-2m[\vec\omega\times\vec v]\]

и центробежная сила

\[\vec F_\text{ц.б.} = -m[\vec\omega\times[\vec\omega\times\vec r]]\].

Что они из себя представляют?

Начнем с центробежной. Рассмотрим выражение \(\frac{(\vec\omega\vec r)}{\omega^2}\vec\omega\) — это та часть вектора \(\vec r\), которая параллельна оси вращения. Если ее вычесть из него, то останется перпендикулярная часть. Умножим ее на квадрат угловой скорости и получим \(\omega^2\vec r - (\vec\omega\vec r)\vec\omega\), что по формуле «бац минус цаб» сворачивается в наше центробежное ускорение \(-[\vec\omega\times[\vec\omega\times\vec r]]\). Таким образом, центробежная сила равна произведению квадрата угловой скорости на расстояние до оси вращения и направлена в сторону от оси вращения, поэтому она и центробежная.

Посчитаем ее. Земля делает оборот вокруг своей оси за \(T\approx8,\!6\cdot10^4\text{с}\), значит угловая скорость примерно \(\omega=2\pi/T\approx7,\!3\cdot10^{-5}\text{с}^{-1}\). Радиус Земли \(R=6,\!4\cdot10^6\text{м}\). Итого \(F_\text{ц.б.}=m\omega^2R\approx m\,3,\!4\cdot10^{-2}\text{м}/\text{с}^2\). Это в триста раз меньше ускорения свободного падения, и это максимальное значени на экваторе. Кстати, из-за этого и именно на такую долю, различаются полярный и экваториальный радиусы Земли. Тем не менее, это перенбрежимо малая величина. Центрифуги позволяют получить ускорения до миллиона \(g\).

Кориолисова сила куда интересней. Она действует только на движущиеся тела и действует в бок. В северном полушарии она тянет в право (если вы двигаетесь параллельно поверхности Земли не вниз головой). На экваторе она тянет вверх, если двигаться на восток. Она тоже очень мала на Земле. Представим себе воздушный шар с идеальной плавучестью (архимедова сила компенсирует силу тяжести), который двигается вдоль экватора на запад со скоростью вращения Земли \(v=\omega R\approx470\text{м}/\text{с}\), кориолис в двое превысит центробежную силу, но направлен будет против нее, то есть вниз. Он сообщит шару ускорение, которое мы называем центростремительным. Это такое ускорение \(a_\text{ц.с.} = v^2/R\), которое позволяет двигаться по окружности радиуса \(R\) со скоростью \(v\), что и делает шар. А с мой точки зрения (я опять на Марсе), никаких инерциальных сил на шар не действует, а он просто висит на одном месте, поэтому и ни в каком центростремительном ускорении нет потребности.

Несмотря на то, что кориолисова сила на два, три, а то и четыре порядка меньше силы тяжести, ее особый характер (направленность в бок) приводит к интересным и важным последствиям. Циклоны и антициклоны закручиваются благодаря этой силе. Действительно, если где-то на Земле уменьшается давление, туда устремляется воздух, сила Кориолиса, действуя вправо с северном полушарии, закручивает эти потоки против часовой стрелки. Далее следуют более сложные процессы, связанные с конденсацией и испарением воды, трением о поверхность и др., в результате получаются такие грандиозные и непредсказуемые явления как ураганы или тайфуны.

Кстати, то же происходит и с водой в океане. Кориолисова сила от части управляет также и морскими течениями. А вот ее влияние на сток воды в раковине — миф. Так как причина силы Кориолиса — вращение Земли, чтобы понять, оказывается ли она существенное влияние на какой-то процесс тоже связанный с вращением, необходимо сравнить две угловые скорости. Вода в раковине вращается гораздо быстрее Земли, поэтому кориолис тут не причем.

Рассуждая здесь о инерциальных силам, мы так свободно использовали тот факт, что Земля вращается вокруг собственной оси, а ведь для людей до Ньютона это было вовсе не очевидно. Механика Ньютона хорошо согласовывалась с предположением о вращающейся Земле, но пожалуй первым экспериментальным доказательством послужил маятник Фуко. По сути, это обычный математический маятник, правда очень большой. Раскачиваясь из стороны в сторону, он испытывает действие силы Кориолиса, которая толкает его в бок и тем самым вращает плоскость колебаний. То есть, если изначально он раскачивался с запада на восток, то по прошествии некоторого времени колебания плавно перейдут в плоскость север-юг, потом обратно и так далее. Вы лучше поймете, почему это происходит, если переместитесь ко мне на Марс. Представьте, что маятник Фуко установлен на северном полюсе. В этом случае ему будет совершенно все равно, что происходит с Землей, это плоскость колебаний будет оставаться на месте. Землянам же будет казаться, что плоскость маятника вращается с периодом в одни сутки. Если переместить маятник ближе к экватору, его движение усложнится, а период увеличится.

Еще один интересный факт связанный с кориолисом, одним из главных аргументов противников гипотезы о суточном вращении Земли было утверждение, что, если бы Земля вращалась, то тело брошенное вертикально вверх упало бы значительно западнее места броска. Вы, наверное, скажете, что это глупость, вспомните про суперпозицию двух движений (горизонтального и вертикального), и простите эту ошибку самому Аристотелю. Каково же будет ваше удивление, когда вы узнаете, что это от части правда, тело приземлится немного западнее, и виной тому сила Кориолиса. Забавно, что если бросить тело вертикально вниз с высокой башни, оно приземлится немного восточней, чем ожидается. Вот такой Кориолис. Кстати, последний факт был предположен Галилеем и доказан Ньютоном за полтора века до строгого доказательства теоремы Кориолиса о движении в неинерциальных системах отсчета.

Итак, мы рассмотрели один из видов неинерциальный систем отсчета — равномерно вращающиеся системы. В них для компенсации отклонений от второго закона Ньютона вводятся инерциальные силы: кориолисова и центробежная. Для более сложных случаев систем ускоренно двигающихся и вращательно, и поступательно инерциальных сил будет больше, целых пять. Но их вывод ничем принципиально не отличается от проделанного нами. Попрактикуйтесь с этим сами.

А еще решите следующую задачу. Представьте, что вы находитесь на вращающейся карусели и двигаетесь от периферии к центру. Центробежные силы тянут вас назад к периферии, поэтому вашим конечностям приходится совершать работу, то есть вы теряете энергию. Вопрос: куда девается эта энергия, и каким образом это происходит?