Гауссова оптика — это приближение линейной оптики, когда все, и линзы, и источники света, цилиндрически симметричны, то есть не изменяются при вращении вокруг оптической оси. В гауссовой оптике удобно описывать лучи парами чисел $(x,n\theta)$, где $x$ — расстояние, на котором луч проходит от оптической оси вблизи некоторой точки наблюдения, $\theta$ — угол между оптической осью и лучом (положительный, если луч удаляется от оси), а $n$ — показатель преломления среды, в которой все происходит. Тогда изменения, происходящие с лучами при их распространении или преломлении на сферических поверхностях, изменяют описывающие их пары, линейные преобразования изменяют векторы пространства $\mathbb{R}^2$. Векторы удобно записывать столбцами, а преобразования матрицами. Кстати, из-за того, что матрицы умножаются на столбцы слева, нагляднее читать матричные уравнения справа налево, а также направлять оптическую ось тоже справа налево.

Мы рассматриваем два преобразования: распространение и преломление на сферической поверхности. Распространение описывается матрицей \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & L/n\
0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} а преломление матрицей \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0\
\pm\Delta n/R & 1 \end{pmatrix} \end{equation} где знак зависит от того, как мы договоримся определять знак радиуса кривизны выпуклых и вогнутых поверхностей.

Задачи

1. Где-то на оптической оси находится точечный источник света. Лучи от него, пройдя некоторое расстояние, образую пучок, который можно описать вектор-столбцами вида: \begin{equation} \begin{pmatrix} 1\,\text{мм}\
1^\circ \end{pmatrix}t \end{equation} где $t$ принимает различные значения для различных лучей. Каково это пройденное расстояние?

2. Матрица тонкой линзы имеет вид \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0\
-\tfrac{1}{f} & 1 \end{pmatrix} \end{equation} где $f$ называется фокусным расстоянием, а $1/f$ оптической силой линзы. Докажите, что \begin{equation} \dfrac{1}{f} = \left(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\right)(n-1) \end{equation} где $n$ показатель преломления материала линзы, а $R_1$ и $R_2$ — радиусы ее выпуклых сферических поверхностей.

3. Получите одну из формул тонкой линзы \begin{equation} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f} \end{equation} которая говорит, что линза с фокусным расстоянием $f$, расположенная на расстоянии $a$ от источника, фокусирует его лучи в точке, расположенной на расстоянии $b$ по другую сторону от линзы.

4. Шесть одинаковых шарообразных бокалов с водой $n=4/3$ стоят в ряд и касаются друг друга. На оптической оси бокалов находится точечный источник света. Что такая оптическая система сделает со светом источника?

5. Параллельный пучок лучей падает на стеклянный полушар со стороны плоской грани перпендикулярно ей. В какой точке сфокусируется пучок? А если пучок падает с противоположенной стороны?

Решения