Радуга
Теория
Угол $\theta$, на который поворачивается луч, рассеиваясь на шаре, складывается из нескольких слагаемых. На входе и выходе из шара свет преломляется, оба раза на угол $\alpha-\beta$. И при каждом отражении внутри шара свет поворачивается на угол $180^\circ-2\beta$. Итого \begin{equation} \theta = 2(\alpha-\beta) + k(180^\circ-2\beta) \end{equation}
где $k$ — это количество отражений. В видео мы рассматривали третью компоненту рассеяния, у которой $k=1$. Во второй компоненте не происходит отражения, только преломление, поэтому $k=0$. Немного удивительно, но для первой компоненты эта формула тоже верна, если положить $k=-1$, получится $\theta = 2\alpha-180^\circ$.
Учитывая связь углов $\alpha$ и $\beta$, закон Снелла \begin{equation} \sin\alpha = n\sin\beta \end{equation}
мы получаем функцию $\theta(\alpha):$ \begin{equation} \theta(\alpha) = k\,180^\circ + 2\alpha-2(k+1)\mathrm{arcsin}\dfrac{\sin\alpha}{n} \end{equation}
Чтобы найти, под каким углом концентрируются лучи, приравниваем производную этой функции к нулю \begin{equation} \theta’(\alpha) = 2-2(k+1)\dfrac{\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}}=0 \end{equation}
и после некоторых преобразований получаем одну единственную $\alpha^*$: \begin{equation} \alpha^* = \mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{(k+1)^2-n^2}{n^2-1}} \end{equation}
Такую $\alpha^*$ называют стационарной точкой функции $\theta(\alpha)$, она может быть минимумом или максимумом, а может не быть ни тем, ни другим. Но важно не это, а то, что производная в этой точке равна нулю, а значит функция «задерживается» на своем значении в этой точке $\theta^*=\theta(\alpha^*)$ дольше, чем на значениях в других точках. Это и есть концентрация света.
Для нахождения первой радуги на каплях воды подставим в полученную формулу значения $k=1$ и $n=1{,}33$ и получим \begin{equation} \text{вода:} \qquad \alpha^* = 59^\circ \qquad \theta^* = 138^\circ \qquad |\theta^* - 180^\circ| = 42^\circ \end{equation}
Угол $42^\circ$ — это угловой радиус радуги.
Задачи
1. В видео мы рассмотрели только первую радугу, образованную светом отразившемся в капле один раз. Рассмотрите следующую радугу (два отражения), найдите ее положение на небе, ширину и порядок цветов. Напомним значения показателя преломления: \begin{equation} \text{красный:} \qquad n = 1{,}331 \qquad\qquad \text{синий:} \qquad n = 1{,}343 \end{equation} Как вы думаете, почему мы ее обычно не замечаем?
2. По предположениям ученых радуги могут наблюдаться и на других планетах. Например, на Венере и Титане (спутнике Сатурна). Каково положение на небе таких радуг (угол $\theta^/*$)? Дождь на Венере состоит из серной кислоты с показателем преломления $n=1{,}43$, а на Титане из жидкого метана с показателем преломления $n=1{,}29$.
3. Мы рассматривали рассеяние света на капельках воды в воздухе, а вы рассмотрите, наоборот, рассеяние света на пузырьках воздуха в воде. Возможно ли образование радуги в таком случае?
4. Маленькое тело подбрасывают вверх с начальной скростью $v_o=10\,\text{м/с}$. Ускорение свободного падения равно $g=10\,\text{м/с$^2$}$. Найдите, во сколько раз больше времени это тело проведет в промежутке высот от $4{,}99\,\text{м}$ до $5{,}00\,\text{м}$ по сравнению с промежутком высот от $3{,}99\,\text{м}$ до $4{,}00\,\text{м}$.
5. Объясните утверждение: «Красный цвет радуги — это настоящий чистый красный цвет, а все остальные цвета — ненастоящие».
6. Рассмотрим простую модель распространения сейсмических волн внутри планеты. Ядро имеет радиус вдвое меньший радиуса планеты. Скрость волн в ядре в два раза меньше, чем в мантии. Землятрясение, произошедшее в некоторой точке поверхности планеты, испускает сейсмические лучи, которые, преломляясь и отражаясь на границе ядра, концентрируются на некотором расстоянии от точки землятрясения. Найдите это расстояние (угловое расстояние).
